Методичен анализ на развитието на понятията функция и вектор в часовете по математика и физика
1.1 Методичен анализ на развитието на понятията функция и вектор в часовете по математика и физика
Понятието функция е едно от основните математически понятия което се използва повсеместно. Физиката борави сериозно с него, във връзка с широкото използване на математически методи за изследване при изучаването на явления от действителността. То е най-важното сред другите основни математически понятия в училищния курс по математика. Разкривайки значението на това понятие, професор А. Я. Хинчин отбелязва: „Нито едно от другите понятия не отразява явленията на действителността с такава непосредственост и с такава конкретност, както понятието функционна зависимост, в което са въплътени и подвижността, и динамиката на реалния свят, и взаимната обусловеност на величините .Това понятие, както никое друго, въплъщава в себе си диалектическите черти на съвременното математическо мислене, а именно то приучва да се възприемат величините с тяхната жива променливост, а не в изкуствено препарирана неподвижност, в тяхната взаимна връзка и обусловеност, а не с изкуственото им откъсване една от друга.“ (Хинчин, 1963)
В процеса на изучаването на физиката учениците се запознават с многообразие от взаимно свързани физични величини, които отразяват многообразието на физическите природни явления, тяхната взаимна връзка и затова понятието функция се използва широко в курса по физика в средното училище. То съдейства за по-пълното разбиране на физическите закономерности на природните явления. Заедно с това съдържанието на курса по физика създава благоприятни условия за неговото развиване. Но възможностите на курса по физика за развиване на това понятие далеч не винаги се използват напълно. Значението на понятието функция за изучаването на явленията на материалния свят изисква създаване на оптимални условия за неговото формиране и развиване. А формирането на понятието функционна зависимост у учениците е сложен и продължителен процес, който не се ограничава с периода на изучаването на темата „Функция“ в курса по математика за 8. клас Това понятие се формира през целия период на изучаването на математиката и другите учебни предмети. Равнището на неговото формиране до голяма степен се определя от приноса на другите учебни дисциплини и преди всичко на физиката, от координирането на дейността на учителите по различните учебни предмети при решаването на тази задача (Пинский, 1977)
1.1.1 Функция
Функцията изразява зависимост между променливи величини. Ако две променливи величини x и y са свързани помежду си по такъв начин, че на всяка стойност на променливата x съответства определена стойност на другата променлива y, то y се нарича функция на x. (у е функция на аргумента х ). В съвременната математика и в нейните приложения се разглеждат еднозначни и многозначни функции на един аргумент и еднозначни и многозначни функции на няколко аргумента.
Една функция може да се задава по различни начини: с формула, графика или таблица. Да се зададе една функция означава да се посочи множеството от стойностите, които може да приема аргументът и правилото, по което на стойностите на аргумента се съпоставят съответните стойности на функцията.
Ако една функция е зададена с формула, формулата показва какви операции трябва да се извършат над аргумента, за да се получат стойностите на функцията. Една функция може да се зададе с една или няколко формули в зависимост от характера на множеството на аргумента (дефиниционната област на функцията). Дефинирането на една функция чрез формула е „най-точно“ и най-често се прилага в практиката .
Ако функцията y=f(x) е дадена с графика, т. е. с множество от точки (x,y) в равнината, за всяка стойност на аргумента от дефиниционната област стойността на функцията се определя по графиката. От чисто математическо гледище този начин на задаване на функция не е достатъчно точен. За точното задаване на функция с графика е необходимо да се покаже точното геометрично построение на графиката и; тя може да се зададе с уравнение. Във физиката експериментаторът често се сблъсква с този начин, боравейки с измервателна апаратура.
Ако една функция е зададена с таблица, стойностите й се определят по таблицата. В този случай от чисто математическо гледище функцията ще бъде дефинирана точно, когато дефиниционната й област включва само ония стойности на аргумента, които се съдържат в таблицата и на които по таблицата отговарят абсолютно точни стойности, т.е. е дискретна. Този начин на задаване не е за пренебрегване, т.к. в експерименталните процеси, характерни за физиката данните се описват именно по този начин.
Понятието функция, както и другите научни понятия, се развива с развитието на науката. От реални променливи то е било пренесено за комплексни променливи, а след това за произволни променливи математически обекти. Общата дефиниция на еднозначна функция се дава със следната формулировка: нека A={x} и B={y} са две непразни множества от произволни елементи, а M е такова множество от наредени двойки (x, y) (където xϵA , а yϵB), че всеки един от елементите xϵA участва в една и само една от двойките на М. Тогава М дефинира функция y=f(x) в множеството A, стойността на която за всяко x0ϵA е елементът y0ϵB участващ в единствената наредена двойка от M с пръв елемент x0 .(Пинский, 1977)
Преди формирането на понятието функционна зависимост у учениците трябва да се създаде необходимата понятийна база, т. е. те трябва да имат представа за:
1. взаимната връзка и взаимната обусловеност на явленията от материалния свят;
2. взаимната връзка и взаимната обусловеност на величините като отражение на взаимната връзка и взаимната обусловеност на природните явления;
3. променливи величини;
4. множество, елемент на множество, съответствие между еквивалентни множества, дефиниционната област на функция. Освен това учениците трябва да познават аналитичния, табличния и графичния начин за изразяване на връзки между величини. Тези знания трябва да са усвоени от учениците до изучаването на темата „Функция“ в уроците по математика в 8 клас (Лозанов, 2011)(Паскалева, 2011)
Като се има пред вид съдържанието на програмата по математика за 8. клас, при изучаването на който целенасочено се формира понятието функция, за курса по физика в този клас може да се формулират следните изисквания към учениците при усвояване на понятието функция:
* да знаят дефиницията за функция;
* да умеят да посочват примери за функционални зависимости на величини, изучавани в курса по математика и прилагани в курса но физика ;
* да умеят да изобразяват графично функционна зависимост на величини;
* да владеят понятието дефиниционна област на функция, да умеят да определят дефиниционната област на функции;
* да умеят да оперират с функции, дадени по аналитичен, графичен и табличен начин;
* да умеят да пресмятат стойностите на функцията при всяка стойност на аргумента от дефиниционната област на функцията. (Ганчев, 2007)
От методична гледна точка изучаването на функционална зависимост на величини може да се раздели на три етапа.
Първият етап е пропедевтичен. Той започва в основни линии в 6. клас с изучаването на въпроса „Изрази, съдържащи променливи“ (Паскалева, 2011)и продължава до изучаването на темата „Функция“ в 8. клас (Лозанов, 2011). През този етап учениците добиват представа за променливи величини, запознават се с понятията множество, елемент на множество, оперират с изрази, съдържащи променлива величина, с множества и елементи на множества, запознават се с формули и графики, изразяващи зависимостта между различни величини, развиват се техните изчислителни умения и навици. У учениците се изгражда схващането за взаимната връзка и взаимната обусловеност на природните явления. На този етап задачата се състои в това да се подготвят учениците за усвояване на понятието функционна зависимост на величини, което се въвежда в 6 клас и по-нататък се развива в продължение на целия курс по математика. През първия етап на изучаването на функционната зависимост на величини учителят не въвежда дефиницията за функция, но като използва конкретен материал, подготвя учениците за въвеждането на понятието функция чрез достъпни за разбиране от тях средства(Усова, 2006).
Вторият етап на формирането на понятието функция се реализира в 7 клас (Лозанов, 2011). През този етап в учениците се развива схващането за взаимната връзка и взаимната обусловеност на величините, които характеризират количествено свойства на тела и явления в природата; развиват се също понятията променлива величина, множество, елементи на множество. Учениците усвояват понятията съответствие между елементите на множества, дефиниционната област на функция, а също се запознават с аналитични, таблични и графични начини за даване на функция. През този етап за пръв път се дава следната дефиниция на функция: съответствие между множество {x} , и множество {y} при което на всеки елемент на {x} съответства един и само един елемент на множеството {y}, се нарича функция.
След това се въвежда съответната терминология и се изучават функции от вида :
y=kx , y=kx , y=аx2, y=аx3, y=аx+Ь.
През този етап от изучаването на функционната зависимост на величини у учениците се формират графични и изчислителни умения и навици, систематизират се и се задълбочават получените вече знания за връзки между величини. На този етап задачата се състои във формирането на понятието функция(Пинский, 1977).
Третият етап от формирането на понятието функционна зависимост на величини започва в 8.клас (Лозанов, 2011), а след това продължава в горните класове. На този етап задачата се състои в конкретизиране и обобщаване на това понятие чрез запознаване на учениците с нови видове функционални зависимости на величини и с разнообразни начини за изразяването им
Подготвителната работа по въвеждането на понятието функционална зависимост на величини се извършва в 6 клас (Паскалева, 2011). В програмата по математика за този клас е включено понятието: Изрази, съдържащи променлива. Учениците овладяват това понятие запознават се с термина формула, усвояват формулите за лице на правоъгълник и за обем на правоъгълен паралелепипед.
За да разберат учениците характера на понятието функционална зависимост на величини съдейства изучаването на такива теми от курса по математика за 6 клас, като: „Пресмятане по формули, формула за пътя, формула за процентите, „Координати на точките от права“. „Координатна равнина“. „Координати на точките в равнина“. Премери на графики на движение, температура, формулите за дължина на окръжността и лицето на кръга. По този начин се поставя солидна основа на знанията, необходими за формирането и усвояването понятието функция.
След това развитието на понятието функция става при изучаването на следните въпроси от математиката в 8 клас: понятието функция: табличен начин за даване на функция; графичен начин за даване на функция; даване на функция чрез формула;
графики на функциите: y=kx ; y=kx ; графики на функциите : y=ах2 ; y=ах3; линейна функция и графиката и. За усвояване на понятието функционална зависимост на величини съдейства и изучаването на темата: „Системи уравнения“.(Пинский, 1977)
Трудно е да се формира понятието функционна зависимост у учениците само чрез уроците по математика, тъй като не се осигурява системност и планомерност на този процес. Посочените елементи на понятието функционна зависимост в 7. клас (Петкова, 2010) се усвояват в течение на четири учебни седмици и затова формирането на това понятие има епизодичен характер. След това в 8 -10. клас по- системно се усвояват: нарастване и намаляване на функция, графично решаване на неравенства с една променлива и други елементи на понятието функция. Както виждаме, общият обем на понятието функция за три години обучение (6 – 8 клас) се разнообразява, постепенно се задълбочава и се развива доста последователно. Учениците обаче не го усвояват трайно. Осмея това след изучаването на някои видове функции, те дълго време него използват в уроците по математика и затова бързо го забравят.
Условие за ефективно усвояване на понятието функционна зависимост виждаме в установяването и използването на възникващите междупредметни връзки на изучаваната в училище физика и математика, което позволява да се изпълнят успешно следните методични задачи:
1. Да се осигури взаимна връзка на математиката и физиката, което да съдейства за затвърдяване на понятието функционна зависимост. Необходимо е в уроците по физика това понятие да се използва за изразяване на физични закони и за решаване на задачи.
2. Последователно да се реализират междупредметните връзки на математиката и физиката с цел да се конкретизира и обогати съдържанието на понятието функция, да се покаже на учениците практическо приложение на математическия апарат изобщо и по- конкретно практическата значимост на понятието функция(Усова, 2006).
3. Да се създаде у учениците умение да боравят с понятието функционна зависимост в процеса на решаването на различни задачи от познавателен и практически характер.
В процеса на обучението на учениците (по математика в 6., 7., 8. клас и по физика в 7. и 8. клас) се убедихме, че взаимните връзки на физиката и математиката при формирането на понятието функционна зависимост могат да се реализират в следните насоки:
* съгласуваност при изучаване на съответните елементи на понятието функционна зависимост в уроците по математика и физика;
* съгласуваност в изискванията към учителите по математика и физика при разработката на уроци, засягащи понятията, дефинициите, термините, формулите, изразяващи функционна зависимост на величини;
* съгласуваност на системите от задачи и примерите в уроците за нови знания и упражнения по темата „Функции“ в уроците по математика и свързаните теми във физиката.
Ще приведем някои примери на такова съгласуване.
Пример 1. В уроците по физика учителят, след като разясни на учениците същността на понятието плътност на вещество и формулата за плътността, може да припомни, че в урок по математика са изучавали пропорционални величини, като са използвали формулировката: „Ако за всяка двойка от съответни стойности на променливите х и у отношението: y/x е равно на едно и също число различно от нула, то променливата у е пропорционална на променливата х „. Учителят съобщава, че във формулата ρ=m/V (Кожекина, и др., 1982) масата m и обемът V на тела, изработени от едно и също вещество са такива променливи, че на всяка стойност на m съответства напълно определена стойност на V, а отношението m/V на всеки две съответни стойности па тези променливи с едно н също число ρ, което се нарича плътност на даденото вещество. Ето защо може да се твърди, че променливата m е пропорционална на променливата V; в случая плътността на веществото ρ е коефициентът за пропорционалност, който в математиката се означава с k. След това вниманието на учениците се насочва върху факта че големината на отношението m/V за дадено вещество е винаги постоянно, т. е. то характеризира даденото вещество и не зависи от масата и обема на тялото(Федоровой, 1980).
Тъй като m и V са разнородни величини, коефициентът на пропорционалност (ρ) трябва да притежава определена мерна единица, която зависи от избора на мерните единици на m и V.
На учещите се предлага да определят самостоятелно единицата за измерване на новата за тях величина, като използват правилото, което те са усвоили вече в уроците по математика при изучаване на единиците за измерване на скорост: за определяне на мерната единица на произволна величина, трябва да се напише формулата, изразяваща тази величина с други величини, след това в нея да се заместят мерните единици на съответните физически величини и с новите величини да се извършат операции в съответствие с формулата.
Съобщава се, че в системата SI за единица маса е приет 1 kg, а за единица обем : 1m3.
В следващия урок по физика на учениците се предлага да определят масата на тяло, като са известни плътността на веществото и обемът на тялото, и въз основа на последователни разсъждения да изведат формулата m=ρV . След това учителят съобщава, че тази формула може да се получи и като се използват знания от математиката. Тъй като променливата m е пропорционална на променливата V, а ρ е коефициентът на пропорционалност, то m=ρV. На учениците могат да се поставят въпросите: „Какъв вид функция изразява дадената формула?“ „Кое в тази формула е функция, аргумент и коефициент на пропорционалност?“ и да напишат в общ вид функцията, съответстваща на тази формула, т.е. y=kx (y=m ; x=V ; k=ρ, m=ρV)(Кожекина, и др., 1982)
С този пример учениците се убеждават, че една и съща функционна зависимост аналитично може да се изрази с помощта на различни букви, като призова характерът на функционната зависимост не се изменя. В случая се използва принципът на варирането на несъществените признаци, системното прилагане на който (при изучаването на различните видове функции и уроците по математика) позволява на учениците по-бързо „да видят“съответната функционна зависимост в една или друга формула, да определят съответния вид на функцията(Усова, 2006).
Пример 2. В урок по математика преди изучаването на обратно пропорционална зависимост- учителят по физика по уговорка с учителя по математика – предлага на учениците да решат в къщи следната задача: Намерете времето, за което пешеходец, самолет и реактивен самолет ще изминат 18km. Скоростта на пешеходеца е 1 m/s, на самолета 150 m/s, на реактивния самолет 450 m/s .(Иродов, 1988)
В предишните уроци учениците вече са изучили равномерно движение на тяло, усвоили са формулите за скоростта, времето и пътя и са ги използвали за решаването на конкретни изчислителни задачи. Те обаче още не са изучавали характера на зависимостта на времето от скоростта при равномерно движение на тяло.
